Alberto Rodríguez Vázquez, de la Universidade de Santiago de Compostela
Matemáticos de Santiago y suizos resuelven un enigma abierto desde 1965 y encuentran nuevas geometrías de Einstein
En las dimensiones impares, Wolfgang Ziller encontró una segunda geometría en los años ochenta, pero las dimensiones pares se resistieron por completo
En 1965, el geómetra francés Marcel Berger formuló una pregunta. Hasta día de hoy, nadie podía darle respuesta.
Dos investigadores acaban de construir las primeras 'geometrías de Einstein' no homogéneas sobre uno de los espacios más fundamentales de las matemáticas, los espacios proyectivos complejos.
El trabajo, titulado 'Inhomogeneous 'Einstein metrics on complex projective space', lo firman Alberto Rodríguez Vázquez de la USC y Gonzalo Cao Labora de la École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL). Ambos investigadores están vinculados al Centro de Investigación y Tecnología Matemática de Galicia (CITMAga).
Según relatan, en matemáticas, un mismo espacio admite muchas geometrías o métricas distintas, es decir, muchas maneras distintas de medir distancias y ángulos. Entre todas ellas destacan las llamadas métricas de Einstein. Estas son especialmente relevantes porque la teoría de la relatividad general de Einstein dicta que el espacio-tiempo de nuestro universo debe poseer una métrica de Einstein.
El espacio proyectivo complejo CP es un espacio central en la geometría, con aplicaciones actuales que llegan a la computación cuántica. Sobre él se conocía desde hace un siglo una geometría de Einstein homogénea, la llamada métrica de Fubini-Study. En 1965, Berger dejó abierta una pregunta natural: existen otras geometrías de Einstein en CP espacios proyectivos complejos.
En las dimensiones impares, Wolfgang Ziller encontró una segunda geometría en los años ochenta, pero las dimensiones pares se resistieron por completo: allí, Fubini-Study seguía siendo, hasta hoy, la única respuesta conocida.
La respuesta Cao-Labora y Rodríguez-Vázquez demuestran que existen nuevas geometrías de Einstein sobre CP para dimensiones entre 3 y 7. A diferencia de las conocidas, las nuevas son no homogéneas. Esto quiere decir que, a pesar de satisfacer las ecuaciones de Einstein, no se comportan igual en todos los puntos del espacio.
«A grandes trazos, mantienen una diferencia similar a la que existe entre un huevo y una esfera perfecta», explican los investigadores. Y, sobre todo, dan la primera respuesta afirmativa a Berger en las dimensiones pares n = 4 y n = 6, donde no se conocía ninguna métrica de Einstein desde los trabajos de Fubini y Study en 1904 y 1905.