Hong Wang, profesora asociada del Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York
Resuelven la conjetura de Kakeya en 3D: un problema matemático sin solución desde 1917
Más allá del campo puramente teórico, los resultados tienen aplicaciones potenciales en la informática, la criptografía y la teoría de números
Un hito matemático ha sido alcanzado con la resolución de la conjetura de Kakeya en tres dimensiones, un enigma geométrico que llevaba más de un siglo sin solución. Inspirada en un planteamiento del matemático japonés Soichi Kakeya en 1917, la conjetura explora cuál es el conjunto más pequeño dentro del cual se puede rotar una aguja 180 grados en todas las direcciones posibles. Estos conjuntos se conocen como conjuntos de agujas de Kakeya y, aunque su formulación es sencilla, su análisis ha resultado excepcionalmente complejo.
La demostración, publicada recientemente en el servidor de preimpresiones arXiv, ha sido obra de dos investigadores: Hong Wang, profesora asociada en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York, y Joshua Zahl, profesor asociado en la Universidad de Columbia Británica. Ambos han conseguido probar que los llamados conjuntos de Kakeya en el espacio tridimensional no pueden ser excesivamente pequeños en términos geométricos. Aunque podrían tener volumen cero, deben poseer tridimensionalidad completa, es decir, extenderse en las tres dimensiones del espacio.
Este avance ha sido calificado como uno de los logros matemáticos más destacados del presente siglo. Así lo expresó Terence Tao, profesor en la Universidad de California en Los Ángeles (UCLA) y galardonado en 2006 con la Medalla Fields –el más alto reconocimiento internacional en matemáticas–, quien celebró la publicación señalando que se trata de un «progreso espectacular» dentro de la teoría de la medida geométrica.
Desde el Instituto Courant, donde trabaja una de las autoras, también se ha subrayado la magnitud del hallazgo. «Esta es una obra maestra de las matemáticas», declaró el profesor Guido De Philippis, quien destacó la forma en que esta investigación culmina una larga trayectoria de avances en la comprensión de estructuras geométricas complejas. A su juicio, las técnicas desarrolladas abrirán la puerta a nuevas contribuciones en campos relacionados.
La importancia de esta conjetura reside no solo en su formulación elegante y su dificultad intrínseca, sino también en sus múltiples conexiones con ramas clave de las matemáticas, como el análisis armónico y la teoría geométrica de la medida. «Este es un problema que ha captado el interés de los más destacados matemáticos, y con razón», afirmó Pablo Shmerkin, profesor en la misma universidad canadiense que Zahl. Según explicó, su resolución implica un profundo entendimiento de cómo se intersectan pequeños tubos –estructuras geométricas que simulan el recorrido de las ondas– dentro del espacio euclidiano tridimensional.
La técnica empleada por Wang y Zahl ha consistido en ampliar el marco de la conjetura para estudiar una afirmación más general sobre intersección de tubos, lo cual ha facilitado su abordaje mediante una estrategia conocida como «inducción a escalas». Este enfoque, altamente eficaz, ha permitido desentrañar la compleja geometría subyacente al problema original.
Más allá del campo puramente teórico, los resultados tienen aplicaciones potenciales en la informática, la criptografía y la teoría de números. En muchos de estos ámbitos, la información puede representarse como paquetes de ondas confinadas en tubos estrechos, y entender cómo estas estructuras se cruzan entre sí es esencial para descifrar la interacción de los datos que transportan.
Con este avance, se abre una nueva etapa para la investigación matemática, que ahora podrá construir sobre un terreno firme en uno de los problemas más emblemáticos y escurridizos del siglo XX.
